سطوح یادگیری مفاهیم هندسی:
کلمنتس و باتیستا (۱۹۹۲) ۵ سطح برای یادگیری مهارت های مرتبط با قضایای هندسی بر شمرده اند این سطوح به شرح زیر است:
سطح ۱: تشخیص / دیداری
دانش آموزان تنها اشکال را توسط ظاهر تشخیص داده و اغلب آن ها را با یک نمونه شناخته شده مقایسه می‌کنند و خواص شکل برای آن ها تصور پذیر نیست. در این سطح، تصمیم گیری دانش آموزان بر اساس ادراک و استدلال نیست. به عنوان مثال مستطیل را به دلیل شباهت آن با در اتاق یا خانه تشخیص می‌دهند.
سطح ۲: تجزیه و تحلیل / تشریحی
در این سطح دانش آموزان شکل ها را بر حسب مؤلفه ها و رابطه های بین این مؤلفه ها تجزیه و تحلیل می‌کنند، دانش آموزان اشکال هندسی را بیشتر بر اساس خصوصیات آن ها توصیف می‌کنند تا بر طبق ظاهر آن ها. وقتی که دانش آموزی در این سطح است امکان دارد لیست تمام خواص یک شیء را به عنوان یک عامل توصیف کنند، اما تشخیص نمی دهد که آیا این خصوصیات برای توصیف شیء لازم و کافی هستند یا نه. مثلاً شخص در این سطح ممکن است بگوید، «در یک مربع ۴ ضلع برابر و ۴ زاویه برابر است»؛ اما ممکن است هنوز روی اینکه «یک مربع، مستطیل نیست» اصرار داشته باشد.
سطح ۳: رابطه ای / انتزاعی
در این سطح دانش آموزان قادر هستند خواص مفاهیم، شکل ها و انواع تعریف های مجرد را به صورت منطقی مرتب کنند. در این مرحله دانش آموزان با بهره گرفتن از خصوصیات هندسی اشکال را دسته بندی و طبقه بندی می‌کنند به عنوان نمونه یک مربع نمونه ای خاص از یک مستطیل است.
سطح ۴: استنتاج رسمی
یادگیرنده در این سطح به جای حفظ کردن اثبات ها قادر به ساختن آن هاست. در این مرحله دانش آموزان در سیستمی متعارف برهان هایی را ارائه می‌دهند.
سطح ۵: دقت / ریاضیاتی
در این سطح فراگیران در گستره ای از سیستم های موضوعی مختلف می‌توانند کار کنند دانش آموزان با بهره گرفتن از استدلال های تفصیلی، دو سیستم متعارف و متفاوت را مقایسه می‌کنند (لیاقتدار و همکاران، ۱۳۹۱، ص ۱۱۰).
مفاهیم توپولوژیک هندسی در دوره ابتدایی:
عبور کودکان از مرحله ی پیش عملیاتی و حرکت آن ها به سمت مرحله ی عملیاتی در تئوری رشد شناختی پیاژه، سبب می شود تا آموزش مفاهیم هندسی نیز از توپولوژیک به سمت هندسه ی اقلیدسی گسترش یابد. در این زمینه چهار مرحله ی توپولوژیک که به کودکان کودکستانی و ابتدایی اختصاص دارد، عبارت اند از: مجاورت، تفکیک، ترتیب و بسته بودن. این چهار مرحله به فعالیت های هندسی و شناخت اعداد و شمارش آن ها اختصاص دارد.
مجاورت: مجاورت به نزدیکی یک شیء به شیء دیگر اشاره دارد. کودکان به طور طبیعی به اشیای نزدیک خود علاقه مند هستند؛ زیرا می‌توانند آن ها را لمس و دستکاری کنند. در مرحله ی حسی حرکتی، کودک به اشیایی که دور از دسترس او قرار دارد، علاقه ی کمتری نشان می‌دهد، مگر اینکه جسم دور از دسترس، متحرک، درخشنده و چشمگیر باشد. اشیایی که دور از دید کودک قرار دارد، در ذهن کودک هستی پیدا نمی کند. توجه کودک به تدریج به فعالیت هایی که برای تشخیص اشیای خارج از میدان دید به آن ها کمک می‌کند، جلب می شود و بین دوری و نزدیک تفاوت می‌گذارند و رابطه ی آن ها را بر حسب نزدیکی به هم در ذهن خود بارور می‌کنند. هر گاه کودک مجموعه ای از اطلاعات را طبقه بندی کند یا مجموعه ای از مهره ها را مانند الگوی داده شده در یک رشته نخ مرتب کند، می توانید چنین سؤالاتی از او بپرسید: «کدام مهره ی مشکی از مهره ی آبی دورتر است؟»، «کدام اتومبیل قرمز به اتومبیل سبز نزدیک تر است؟»
تفکیک: تا کودکان به مرحله تفکیک نرسند، نمی توانند بین اجزای اشیاء تفاوت بگذارند. در این مرحله، تمام قسمت های یک شیء در ذهن کودک نقش می بندد. طرح ها و نقاشی های کودک و رشد کودک در تفکیک اجزا را نشان می‌دهد. کودک در حین نقاشی صورت انسان، اجزای صورت را در مکان اصلی قرار می‌دهد.
ترتیب: فعالیت های مستمر و متوالی،که موضوع هایی مجزا و طبقه بندی شده دارند، به کودکان در درک ترتیب کمک می‌کنند. در طول این دوره از فعالیت ها، کودکانی که در آغاز توانایی الگوبرداری از روی یک مدل را داشتند، ممکن است موفق به ترتیب عکس الگو نشوند. کودکان در صورتی قادر به انجام دادن این کار خواهند شد که معلم راهنمایی لازم را ارائه داده باشد.
بسته بودن: بسته بودن، موقعیت یک نقطه بین دو نقطه روی خط، یک نقطه بین منحنی بسته روی صفحه و نقطه ای بین فضایی بسته را شامل می شود. بسته بودن روی خط بیشتر مورد توجه کودکان قرار می‌گیرد، چون بیشتر با آن برخورد می‌کنند. برای مثال، کودکان در شمارش اعداد، در مورد یک عدد که بین دو عدد قرار دارد، می‌توانند بگویند که آن عدد بین دو عدد دیگر محصور شده است (اسیتوتیپس[۳۳]، ۱۳۷۵، ص ۵۳ و ۵۴).
اوریگامی[۳۴]:
اوریگامی یا کاغذ تا شده یا بنا به قول مردم ایران کاغذ و تا، هنر تا کردن کاغذ برای به وجود آوردن اشکال و اشیای تزیینی و حتی وسایل مصرفی و سرگرمی های کودکانه است. سابقه ی این هنر سنتی از بازی های ساده کودکانه آغاز می شود و به هنری پیچیده می‌رسد. هنر اوریگامی در آیین ها و رسوم خاص ژاپنی و همچنین برای مصارف آموزشی، تفریحی و علمی کاربرد دارد. امروزه در بسیاری از سازه‌های فضایی، در صفحات خورشیدی ماهواره ها و سقف های تا شونده، از این علم استفاده می‌کنند (علاء الدینی، ۱۳۸۳، ص ۹۱).
اوریگامی چیزی بیش از تا کردن کاغذ است، ابزاری برای تدریس دانش‌آموزان در مورد هندسه است. دانش‌آموزان هنگام کار با کاغذ با مفاهیم ریاضیاتی همانند خطوط هندسه، تجانس و ویژگی‌های شکل مواجه می‌شوند. خطوط هندسه در اوریگامی در زمانی که دانش‌آموزان کاغذ مربع را دقیقاً به نیم تا می‌کنند کاوش می‌شوند زیرا که هر دو سمت دقیقاً یکسان می‌باشند. اولیه مرحله برای ایجاد اریگامی ایجاد اریگامی قورباغه است که استفاده از تقارن را نشان می‌دهد. کاغذ دقیقاً به صورت عمودی به نیم تا می‌شود. اریگامی ویژگی‌های مختلفی از اشکال به دانش‌آموزان نشان می‌دهد مثلاً زمانی که مربع به نیم تا می‌شود تا دو مستطیل را تشکیل دهد. یک‌بار دیگر مرحله اول برای ساخت قورباغه استفاده از ویژگی‌های اشکال برای تا کردن کاغذ است. کار با اریگامی همچنین به دانش‌آموزان برای کشف شکل‌ها و زاویه‌های متجانس کمک می‌کند. هنگامی که فرد کاغذ را بر یک سمت تا می‌کند همین فرایند برای سمت دیگر تکرار می‌شود بدین صورت که اضلاع متجانس می‌باشند. مرحله ۵ تا ۹ نشان می‌دهد که هر مرحله تاسازی بر روی یک سمت کاغذ صورت می‌گیرد. دانش‌آموزان به جای حفظ تعاریف می‌توانند تعاریف خاص خود را برای تقارن، مستطیل و مثلث قائم خلق کنند. قورباغه‌های اوریگامی برای شروع کار ریاضی دانش‌آموزان در کلاس سوم عالی می‌باشند. برای دانش‌آموزان پایه بالاتر، شکل‌های دشوارتر همانند مکعب‌ها را می‌توان ایجاد کرد. دانش‌آموزان می‌توانند دیگر جامدات هندسی را نیز کاوش کنند. هنگامی که دانش‌آموزان این جامدات هندسی را خلق می‌کنند، می‌توانند ویژگی‌های مختلف اشکال را بررسی کنند و درک صحیحی از مشخصاتی همانند زاویه و تعداد اضلاع به دست آورند (هسکت، ۲۰۰۷، ص ۴).
اوریگامی برای آموزش و هنر:
